CAPM模型中残差与市场组合收益率协方差的一个证明

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金融经济学这门课中,最重要最核心的部分当然是资本资产定价模型了,也就是传说中的CAPM模型。在学习CAPM的时候,有这样一页课件。

Cov

可以看出,课件里明确给出残差与市场组合收益率协方差为零。当然,如果从计量的角度来看,这个可以看做是一个必要的假设。但是,这门课毕竟是金融经济学,每一个定理每一个推论都得有它的证明。当时我就没有明白到底是为什么。去问了老师,老师给我的回答是就是这样定义的。我没办法接受这样一个定义。于是又去翻了汪昌云和王江的书。这两位大神的书也是直接给出了这个式子。 今天复习金融经济学导论的时候,刚好复习到这地方,于是试着证明这个公式。其实这个公式的证明很简单,不知道当时为什么没有想通。贴在这里就当做是笔记了。

\begin{eqnarray} E(\tilde{r}_{i}) & = & r_{f}+(E(\tilde{r}_{m})-r_{f})\beta_{im}\\  \tilde{r}_{i} & = & r_{f}+\beta_{im}(\tilde{r}_{m}-r_{f})+\tilde{\epsilon}_{i} \end{eqnarray}

其中  \[E(\tilde{\epsilon}_{i})=cov(\tilde{\epsilon}_{i},\tilde{r}_{m})=0 \]

现在证  \[cov(\tilde{\epsilon}_{i},\tilde{r}_{m})=0\]

 

\begin{eqnarray*} cov(\tilde{\epsilon}_{i},\tilde{r}_{m}) & = & E[(\tilde{r}_{i}-E(\tilde{r}_{i}))(\tilde{r}_{m}-E(\tilde{r}_{m}))]\\ & = & E[((\tilde{r}_{m}-E(\tilde{r}_{m}))\beta_{im}+\tilde{\epsilon}_{i})(\tilde{r}_{m}-E(\tilde{r}_{m}))]\\ & = & \beta_{im}\sigma_{m}^{2}+cov(\tilde{\epsilon}_{i},\tilde{r}_{m})\\ & = & \beta_{im}\sigma_{m}^{2} \end{eqnarray*}

所以 \[cov(\tilde{\epsilon}_{i},\tilde{r}_{m})=0 \]