两个掷筛子问题的解

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现在给两个题目。

  • 第一个题目。掷筛子,连续扔到两个6的期望次数是多少。
  • 第二个题目。掷筛子,扔到两个6的期望次数是多少。

这里给一种比较简单的解法。

对于第一题:

在没有扔到6的时候,我们假设,能够连续扔到两个6的期望次数是a。在还没有开始扔色子的时候,显然,我没没有扔到6,那么能够连续扔到两个6的期望次数是6。这样,a就是我们要计算的期望值。

当我们恰好扔到一个6的时候,我们假设,能够连续扔到两个6的期望次数是b。这样,我们就有:

\[a = 1+\frac{5}{6}a+\frac{1}{6}b\tag{1}\]

公式(1)的意思是,我们扔一次色子(损失了一次,所以有个1),有5/6的概率没有扔到6。那么,后面连续扔到两个6的期望还是a。有1/6的概率扔到a,这样能够连续扔到两个6的期望是b。

\[b=1+\frac{5}{6}b\tag{3}\]

公式2的意思是,扔到一个6后,这样就损失了一个次数,所以要加1。我们有5/6的概率没有再扔到6,这样后面连续扔到两个6的期望次数还是a。我没还有1/6的概率扔到6,这样游戏结束。

根据(1)(2)两个公式,可以解出a=42;b=36。

对于第二题:

还是利用上面的方法定义a和b。对于第二个,a的公式还是公式(1)。b的公式变为下面这个:

解除b=6,进而解出a=12。

其他解法:

  • 这两题的另一个比较繁琐的解法是直接算概率。以第一题简单为例,若在N次的时候,连续投到了两个6,这样N以及N-1次的概率都是1/6。在1到N-2次数之间,我们需要排除掉两个连续6的情况。这样就复杂多了。
  • 用MATLAB/Python进行数值模拟显然更快。也可以用MATLAB/Python计算E=概率(N)*N。
  • 当然,对于第一题,我们还可以用下面的公式。在掷筛子的问题中,n=2,p=1/6。可以利用下面的公式计算出期望次数是42。 \[E(T) = \frac{1}{p}+\frac{1}{p2}+⋯+\frac{1}{p^n}=\frac{(p{-n}−1)}{(1−p)}\tag{4}\]